주사위가 확률론 기초 세웠다

파스칼, 게임 즐기던 친구 부탁 받고 연구 시작 ##
주사위 두 개를 던졌을 때 그 합이 12를 넘게 되는 경우가 있을까? 바이킹 시대 노르웨이와 스웨덴 사이에 항시 소유권 분쟁이 일어났던 조그마한 섬이 있었다. 노르웨이 왕 올라프(Olaf)의 영웅담에 의하면, 어느날 올라프 왕과 스웨덴 왕은 두 개의 주사위를 던져 그 합이 큰 쪽에서 그 섬을 영구 소유하기로 했다. 스웨덴왕이 먼저 던진 결과 주사위는 둘 다 6이 나왔고, 올라프 왕 역시 둘 다 6이 나와 재시합을 하게 되었다. 스웨덴 왕은 두번째에도 둘 다 6이 나와 도저히 질 수가 없는 유리한 상황이 되었다. 그러나 올라프 왕이 신의 도움을 빌며 주사위를 던지자, 주사위 한 개는 6이 나왔고 또 한 개는 반으로 쪼개지면서 6과 1이 나와, 합이 13이 되어 올라프 왕이 그 섬을 소유하게 되었다고 한다.
우리가 주사위를 도박 게임 등에서 무작위 도구로 사용할 때 각 면의 확률은 1/6이라고 가정한다. 17세기 프랑스의 도박꾼 드미어(Cheval!!!ier de Mere)는 주사위를 네번 던져 6이 한번이상 나오면 이기는 도박에서 상당한 재미를 보았다. 재미를 볼 수 밖에 없었던 것이 이 게임에서 이길 확률이 1-(5/6)⁴=0.51775이기 때문이다.
주사위 게임에 맛들인 드미어는 주사위 두 개를 24번 던져 6·6이 한번 이상 나오면 이기는 도박도 유리하다고 생각했으나 자신이 잃고 있는 것을 깨달았다. 이 게임의 이길 확률이 1-(35/36)24=0.4914임을 알 수 없었던 드미어는 그의 친구이자 당대의 석학이었던 파스칼에게 이 주사위 문제를 물어보았다. (서양에서는 이와 같이 실생활에서 야기되는 문제들을 수학자들에게 도움을 요청해 해결한 사례가 많다.) 파스칼은 이 간단한 주사위 문제를 연구해 확률론의 기초를 세우는데 기여했다.
드미어가 당시 사용했던 주사위가 과연 1/6의 확률로 공정한 결과를 내는 기구였는지 물어보는 것은 정당한 질문이라고 할 수 있다. 파스칼 자신이 이 질문을 했었는지는 알 수 없다. 그러나 주사위의 확률이 정확한가의 여부를 테스트하는 통계방법은 파스칼이 기초를 닦아놓은 확률론의 발전과 함께 칼 피어슨 등에 의해 약 250년 후에야 개발되었다.
주사위의 확률을 테스트 해보기 위해 스위스의 과학자 울프(Wolf)는 한 개의 주사위를 10만번 던지는 실험을 했다. 그 결과, 1이 1만6632번, 2가 1만7700번, 3이 1만5183번, 4가 1만4393번, 5가 1만7707번, 6이 1만 8385번 나왔다. 이 실험 결과를 통계 방법에 의해 분석하면 실험에서 쓴 주사위의 각 숫자가 나올 확률은 1/6이라고 할 수 없다는 결론이 나온다. 아마도 주사위 자체가 불균형하거나 무려 10만번을 던지는 동안 주사위가 변질되었다고 볼 수도 있겠다. 카지노에서는 1/2000인치까지 치밀하게 만들어진 주사위를 수백번만 사용한다. 1919년 브라운(Brown)은 9900번의 크랩 게임을 한후 미국 수학회 월간지에 그 결과를 발표했는데 그의 승률은 크랩게임의 수학적 확률에 아주 가까운 것으로 이 게임에서 쓰인 주사위가 공정했다고 할 수 있다.
공정한 주사위라면 보통 정다면체 모양의 주사위만을 생각하게 된다. 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)는 3차원에서 가능한 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 그리고 정이십면체, 이상 다섯 종류 뿐이라는 것을 증명했다. 그러나 1989년 미국의 수학자 다이아카니스(Diaconis)와 켈러(Keller)는 이 다섯 종류의 정다면체 이외에도 공정한 주사위의 역할을 할 수 있는 다면체가 무려 25종류나 더 있다는 것을 증명했다.
컴퓨터로 주사위 게임을 할 때는 1과 6 사이에서 무작위로 한 숫자를 나오게 하는 방법을 쓰는데 각 숫자의 확률이 1/6이라고 믿기 어려운 경우가 여러 번 있었다. 아마도 각 숫자의 확률이 1/6인지를 테스트하는 통계 분석은 없었던 것같다