성공적 선택은 확률이 좌우
블랙잭의 허점을 간파하고 확률을 이용해 ‘블랙잭 불패신공’ 카드카운팅 기술을 만든 미키 교수. 낮에는 강의실에서 학생들에게 수학을 가르치지만 밤이면 뛰어난 학생들을 모아 블랙잭 불패의 비밀을 전수한다. 새로운 블랙잭 팀을 만들려는 미키 교수는 수업 시간에 학생들에게 깜짝 퀴즈를 내 재능있는 ‘꾼’을 골라낸다. 문제는 다음과 같다.
당신 앞에 세 개의 문이 있다. 하나의 문 뒤에는 멋진 자동차가 있고, 다른 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다. 사회자는 당신이 문 하나를 선택하면 그 뒤에 있는 상품을 주겠다고 한다. 두근거리는 가슴을 진정시키고 당신은 번호를 선택했다. 그러자 짓궂은 사회자는 당신이 선택하지 않은 2개의 문 가운데 염소가 있는 문을 열어 보이며 선택한 번호를 바꿀 기회를 주겠다고 한다. 당신의 선택은?
“바꿀까 말까…. 오오, 도대체 어떻게 해야 하지? 사회자가 염소가 있는 문을 열어 보여준다고 해서 내가 선택한 문 뒤의 자동차가 사라지는 건 아니잖아? 확률이 달라지는 게 아니라면 난 처음 한 선택을 믿겠어!”
이렇게 생각했다면 미키 교수의 수제자가 되긴 일찌감치 틀렸다. 물론 주인공인 벤은 잠깐 생각한 뒤 ‘문을 바꾼다’고 대답했고, 미키 교수에게 블랙잭 팀에서 중요한 역할을 할 수 있을 재원이라는 인상을 심어줬다.
언뜻 보면 사회자의 행동이 자동차를 받을 확률에 아무런 영향을 미치지 않는 것처럼 보이는데, 벤은 어떤 생각을 한 걸까. 1번 문 뒤에 신형 자동차가 있고, 2번 문과 3번 문 뒤에는 염소가 한 마리씩 있다고 하자. 이때 각 번호의 문을 선택한 모든 경우를 나눠 생각해보자.
1) 1번 문을 선택하는 경우 → 사회자는 2번 문이나 3번 문 가운데 하나를 열어줄 것이다. 이 경우 1번 문에 그대로 서있다면 신형 자동차를 타게 되지만, 선택을 바꾸면 염소를 받을 것이다. → 바꾸지 말아야 함.
2) 2번 문을 선택하는 경우 → 사회자는 3번 문을 열어줄 것이다. 2번 문에 그대로 서있다면 염소를 받지만, 선택을 바꾸면 신형 자동차를 받을 것이다. → 바꿔야 함.
3) 3번 문을 선택하는 경우 → 사회자는 2번 문을 열어줄 것이다. 3번 문에 그대로 서있다면 염소를 받지만, 선택을 바꾸면 신형 자동차를 받을 것이다. → 바꿔야 함.
당신이 선택을 바꿔 자동차를 끌고 가는 경우는 세 번 중에 두 번이다. 자동차가 2번 문이나 3번 문 뒤에 있는 경우도 결과는 똑같다. 즉 처음 문을 선택할 때 신형 자동차를 선택할 확률은 1/3이었지만, 사회자가 염소가 있는 문을 열어 보여 준 뒤 선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률은 2/3가 된다!
비복원추출에는 기억력이‘짱’
블랙잭은 플레이어들 간의 심리싸움이 중심이 아니라 딜러와 플레이어 사이의 대결구도로 진행되는 게임이다. 확률을 기초로한 빠른 계산 능력과 펼쳐진 카드를 얼마나 잘 기억하느냐가 관건이다.
블랙잭에서는 카드 여러 벌을 섞어 사용한다. 딜러는 섞어 놓은 카드에서 한 장씩 꺼내어 게임을 진행하는데, 게임에 사용된 카드는 다시 섞지 않고 다른 쪽에 모아뒀다가 전체 카드를 다 쓰면 다시 카드를 채운다.
이런 방식을 비복원추출이라고 한다. 비복원추출에서는 첫 사건의 결과가 다음 사건이 일어날 확률에 영향을 미친다. 즉 어떤 플레이어가 공개된 카드를 모두 기억하며 게임을 진행한다면, 딜러가 나눠주는 전체 카드의 수가 적어질수록 그 안에 어떤카드가 들어있을지 높은 확률로 추측할 수 있다.
만약 한번 사용한 카드를 다시 집어넣고 섞은 뒤 게임을 하는‘복원추출’방식으로 게임을 진행한다면 축적되는 정보가 없다. 미키 교수의 블랙잭 팀은 라스베이거스 카지노가 비복원추출 방식으로 이뤄진다는 점에 착안해 공개된 카드를 기억하는 기술을 팀원들에게 가르친다.
하지만 제 아무리 기억력이 좋다고 해도 공개된 카드 전부를 기억할 수는 없을 터. 미키 교수는 점수가 높은 카드와 낮은 카드의 그룹을 묶어 기억하는 카드 카운팅 기술인‘하이 로우 시스템’을 개발했다. 2, 3, 4, 5, 6이 나올 경우는 +1, 7, 8, 9가 나올 경우는 0, 10, J, Q, K가 나올 경우는 -1로 계산한다. 예를 들어 현재 펼쳐져 있는 카드가‘J, Q, 2, 3, 10, 8’이면 현재의 카운팅 넘버는 -1-1+1+1-1+0=-1 이 된다.
수학적 재능이 뛰어난 MIT 학생 5명으로 이뤄진 블랙잭 팀은 매일 밤 하이 로우 시스템을 익히고 이를 응용하는 연습을 하며, 라스베이거스로 향하는 마지막 담금질을 마친다.
카드 카운팅, 카드를 세 확률을 계산한다
드디어 결전의 날이 밝았다. 블랙잭 팀은 부푼 가슴을 안고 라스베이거스로 날아갔다. 미키 교수는 자금을 대고, 나머지 학생들은‘스파이더’와‘빅 플레이어’로 각자의 역할을 한다‘. 스파이더’는 블랙잭 게임에 먼저 들어가 적은 돈을 걸고 카드카운팅을 하며 딜러의 카드를 소진시키다가, 빅 플레이어에게 게임에 참여할 시점과 그동안 계산한 카운팅 넘버를 암호로 알려준다.
영화에서 스파이더는 빅 플레이어가 지나갈 때쯤 손을 뒤로 교차하는데,‘지금 벌어지고 있는 판이 플레이어에게 유리하니 들어오라’는 뜻이다. 그리고 빅 플레이어가 게임에 들어오면 현재 남아있는 카드에 대한 정보를 암호로 알려준다. 카운팅 넘버와 연결된 단어를 넣어 상황에 맞는 말을 지어낸다.
예를 들어 스파이더가 돈을 잃은 척하면서“난 내가 가져온 ‘수표’를 다 써버렸어요. 여자친구가 날 죽이려 들 텐데”라고 떠들면 카운팅넘버가 +15라는 뜻이다. 이처럼 스파이더가 죽치고 앉아 계산한 카운팅 넘버는 빅 플레이어에게 생명줄이나 다름없다.
+15의 의미는 펼쳐진 2, 3, 4, 5, 6 카드가 10, J, Q, K 카드 수 보다 15장 많다는 뜻이므로 앞으로 배분될 카드에서 10, J, Q, K가 나올 확률이 다른 숫자들보다 훨씬 크다고 해석할 수 있다.
이런경우만약딜러의공개된카드가6이하라면,플레이어가 승리할확률도높아진다.왜냐하면딜러의감춰진카드가A가 아닌 이상 딜러의 점수는 16이하가 되어 카드 한 장을 더 받아야 하는데, 10, J, Q, K가 나와 21이 초과될 확률이 높기 때문이다.
블랙잭 팀은 카드 카운팅 기술로 단 하룻밤 사이에 수십만 달러를 벌고, 더 큰 돈을 벌고 싶은 유혹에 빠진 이들은 주말마다 라스베이거스를 드나든다.
하지만 카지노 측의 베테랑 보안요원이 이들의 비밀 행각을 눈치채면서 최강의 블랙잭 팀은 위기를 맞는다. 이들은 위기를 벗어날 수 있을까.
블랙잭의 룰
블랙잭은 딜러와 플레이어의 싸움이다. 딜러는 카드를 나눠 주면서 게임을 운영하고, 플레이어는 베팅을 하며 딜러와 승부를 겨룬다. 사용하는 카드는 조커를 제외한 52장이고, 2~8명이 할 수 있다.
딜러는 자신을 포함해 모든 플레이어에게 카드를 2장씩 돌리는데, 카드 점수의 합이 21에 가까운 사람이 이긴다. 카드의 점수는 2~9까지는 숫자대로 점수를 세고, K, Q, J, 10은 10점으로 센다. 단 A는 1점이든 11점이든 편리한 쪽으로 계산할 수 있다.
점수의 합이 21이 나오는 경우를 ‘블랙잭’이라고 하며 무조건 게임에서 승리한다. 그리고 카드의 숫자 합이 21이 넘으면 점수에 상관없이 게임에서 무조건 진다(버스트).
플레이어들은 카드를 받기 전 걸고 싶은 액수만큼 돈을 건다. 게임이 시작되면 딜러는 자신부터 시작해 왼쪽 방향으로 카드를 한 장씩 공개해 나눠주고 자신의 카드는 보여주지 않는다. 두 번째 장은 플레이어와 딜러 모두에게 공개한 채로 나눠준다.
카드를 두 장씩 나눠 가지면 플레이어는 자신의 카드와 딜러의 공개된 카드를 보고 점수 합계가 21점에 가까워지도록 딜러로부터 카드를 추가로 몇 장이고 더 받을 수 있다. 하지만 욕심을 부리다간 점수 합이 21을 넘기 때문에 신중하게 선택해야 한다.
카드 추가가 끝나면 딜러는 자신의 감춰졌던 카드를 공개하는데, 점수 합이 17보다 작으면 무조건 카드를 한 장 더 받고, 17 이상이면 각 플레이어와 승패를 가린다.
카드 카운팅과 조건부 확률
A라는 사건이 일어난 확률은 P(A)로 표시한다. 실생활에서 확률을 계산할 때는 어떤 정보가 있는 경우가 더 많고 이를 반영하면 확률이 크게 달라진다. B라는 사건이 일어났다는 정보가 주어졌을 때, A라는 사건이 일어날 확률은
로 표시하고, 이를 B가 주어졌을 때 A에 대한 ‘조건부 확률’이라 부른다. 여기서 P(A∩B)는 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우에 대한 확률이다.
주사위 놀이를 생각해보자. A는 여섯 면을 가진 주사위를 던졌을 때 3이 나올 사건의 확률 P(A)=1/6이다. 이때 누군가 나에게 홀수가 나왔다는 정보(B)를 몰래 가르쳐줬다면 확률은
로 올라간다. 물론 짝수가 나왔다는 정보(C)를 가르쳐줬다면 P(A|C)=0이다. 짝수 이면서 3이 나올 확률 P(A∩B)= 0이기 때문이다.
영화에서 스파이더는 판이 벌어질 때마다 공개된 카드를 보고 카드카운팅을 한 뒤 빅 플레이어에게 이를 알려 준다. 즉 빅 플레이어에게 조건부 확률을 계산할 수 있는 정보 B를 제공하는 셈이다.
